Balanças dos 8 aos 80

Tal como os mágicos com as cartas, os matemáticos têm uma predilecção especial por balanças para ilustrar os seus conceitos e demonstrar os seus dotes dedutivos.
De entre a miríade de desafios com balanças, escolhi dois que, entre outras coisas, mostram como uma pequena alteração dos dados pode elevar o nível de dificuldade de 8 para 80!

Nível 8

Suponha-se perante um conjunto de 12 (doze) bolas de aspecto idêntico e indistinguíveis ao tacto.
Sabe-se que das doze bolas uma é ligeiramente MAIS PESADA que as restantes onze (tendo estas todas o mesmo peso).
O Desafio é, fazendo apenas 3 pesagens numa balança de pratos, descobrir qual é a bola mais pesada!

Nível 80

Suponhamos uma situação idêntica à anterior.
Temos 12 (doze) bolas com o mesmo aspecto, sendo que uma delas tem um PESO DIFERENTE das restantes, não se sabendo se é mais pesada ou mais leve!
O Desafio é, nas mesmas 3 pesagens numa balança de pratos, descobrir a bola com peso diferente identificando se é mais pesada ou mais leve que as restantes!


SOLUÇÃO

Posted by JooGoo
sexta-feira, abril 27, 2007
 

12 Comments:

  1. Rafeiro Perfumado said...
    Lembro-me dum desafio deste género numa série policial, o Colombo. Como é sexta-feira, os meus neurónios recusam-se a pensar na hipotética solução.

    Um grande RAUF para ti e obrigado pela visita!
    M&S said...
    kadê a solução??? lol
    Carlos Gonçalves said...
    conta a posição inicial das bolas como uma pesagem?

    o processo seria o da eliminação... 6 de cada lado... para ver qual o mais pesado.. depois 3 de cada lado desse grupo... no nível 80 para saber se é mais pesado ou mais leve dá para ver na 1a pesagem...
    JooGoo said...
    M & S: A solução do nível 8 é fácil e, com certeza, já lá chegou! Quanto ao nível 80, a solução é algo trabalhosa e a sua explicação só é possível se acompanhada de um diagrama (tipo árvore) que ainda não tive o tempo de desenhar!

    Carlos: Amigo, partimos do princípio que a posição inicial das bolas é todas ao monte fora da balança. Assim, a primeira vez que colocamos as bolas na balança já conta como uma pesagem.
    Neste desafio não há truques, coisas escondidas ou pensamentos laterais, apenas lógica de tentativa e erro.

    Se, no nível 8, um dos pratos da balança cai, então, é nesse prato que está a bola mais pesada, podendo-se eliminar as bolas do outro prato!

    Mas, no nível 80, se um prato da balança cai ficamos na dúvida se é por ter uma bola mais pesada ou se é o outro prato que tem uma bola mais leve. Não podemos, logo aí eliminar qualquer bola! Mas podemos retirar informação valiosa dessa experiência …

    Pronto, já dei uma ajudinha… força nisso!

    PS: Talvez no fim de semana venha a solução.
    crostt said...
    oi
    peço q me envie a resposta mesmo sem ser de diagrama pois quero te-la rápido pra faze uma coisa
    JooGoo said...
    Crostt: Rápido... pois!
    Eu até mandava, não sei é para onde!
    Já tenho outros desafios na calha, mas não queria colocá-los antes de publicar a solução deste…
    É questão de aguardar…
    crostt said...
    manda pro e-mail
    joelonline@pop.com.br
    favor!!!!!!
    Anónimo said...
    dividisse em 3 grupos

    1º grupo = 1A, 1B, 1C, 1D
    2º grupo = 2A, 2B, 2C, 2D
    3º grupo = 3A, 3B, 3C, 3D

    a) Pese os grupos 1 e 2.
    b) Se houver equilíbrio, o grupo 3 contém a bola diferente.
    c) Então, pese: (1A, 1B, 1C) com (3A, 3B, 3C).
    d) Se houver equilíbrio, então a bola diferente será 3D.
    e) Pese-a com qualquer bola do grupo 1 e descubra se ela é mais leve ou mais pesada que o restante.
    f) No item (c), se a balança pender para o grupo 1 significa que há uma bola mais leve no grupo (3A, 3B, 3C).
    g) Pese (3A) com (3B) e descubra qual é.
    h) Mas, se a balança pender para o grupo (3A, 3B, 3C), então nesse grupo há uma esfera mais pesada.
    i) Novamente, pese (3A) com (3B) e descubra qual é.

    j) Pese os grupos 1 e 2.
    k) Se houver desequilíbrio, o grupo 3 terá apenas bolas de pesos iguais.
    l) Se a balança pendeu para o grupo 1, significa que ou há uma bola mais pesada nesse grupo ou há uma bola mais leve no grupo 2 (determinar o lado, 1 ou 2, é importante para a resolução do problema, mas não altera o resultado).
    m) Então, faça a pesagem:

    (1A, 1B, 2A, 2B) com (2C, 3A, 3B, 3C)

    n) Se houver equilíbrio, uma das bolas fora dessa pesagem (1C, 1D, 2D) será a diferente.
    o) Pese (1C, 2D) / (3A, 3B).
    p) Se houver equilíbrio, a bola 1D é diferente e mais pesada.
    q) Se a balança pendeu para (1C, 2D), a bola 1C é a diferente e mais pesada. Se a balança pendeu para (3A, 3B) então a bola 2D é a diferente e mais leve.

    r) No item (m), se a balança pender para o lado (2C, 3A, 3B, 3C), então uma das bolas 2A ou 2B é a mais leve.
    s) Pese (2A) com (3A). Se houver equilíbrio, então 2B é a mais leve. Se a balança perder para 3A, então 2A será a mais leve.
    t) No item (m), se a balança pender para o lado (1A, 1B, 2A, 2B), então uma das bolas 1A ou 1B será mais pesada ou a bola 2C será a mais leve.
    u) Pese (1A, 2C) com (3A, 3B). Se houver equilíbrio, a bola 1B será a mais pesada. Se a balança pender para o lado (1A, 2C), a bola 1A será a mais pesada. E se a balança pender para o lado (3A, 3B), a bola 2C será a mais leve.
    JooGoo said...
    Grande anónimo…
    Parabéns pela solução e pelo espectacular poder de síntese!

    Vá visitando a JooGaaDaa e, se assim entender, deixe também os seus desafios que terei todo o gosto em publicar.

    PS: Se me permite, usarei o seu esquema de apresentação para publicar a solução deste desafio pois, considerando apenas o texto, é melhor do que o meu.
    Anónimo said...
    Fácil,basta medir 6 bolas contra 6 bolas na 1a pesagem.

    Mas as bolas devem ser colocadas uma a uma em cada prato,ou seja,1 bola no prato 1,depois 1 bola no prato 2,outra no prato 1,outra no prato 2,assim sucessivamente.

    Em algum momento,a balança penderá para um dos lados e saberemos que o diferente está entre as duas últimas bolas colocadas.

    Teremos depois 2 pesagens para descobrir qual das duas bolas candidatas é a diferente e seu peso,o que é muito fácil.
    JooGoo said...
    Caro anónimo:
    Permita-me discordar da abordagem que apresenta…
    Colocar as bolas uma a uma (ou duas a duas, uma em cada prato) corresponde a efectuar múltiplas pesagens!
    Quando colocar o primeiro par está a pesa-lo (1 pesagem), quando coloca o segundo par está a pesa-lo (2 pesagem), só não retirou foi as bolas que já tinha pesado!

    Como tal, penso que a sua solução, embora ardilosa, não respeita as limitações do desafio

    JooGoo
    Anónimo said...
    gente , que coisa fácil! eu estou na sexta série e fiz exatamente os mesmos problemas cada um em 20 minutos! por favor, isso seria no máximo nível 1

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