Um urso encetou uma longa viagem.
Deslocou-se 20Km para Sul, depois 20Km para Este e finalmente 20Km para Norte regressando assim ao ponto de partida.
De que cor era o urso?

Como hoje é sexta-feira, lanço aqui um desfio óptimo para exercitar os neurónios durante alguns momentos do fim-de-semana.

Entre dois mastros de 100 metros de altura estende-se um cabo com 30 metros de comprimento. O cabo não está esticado, ficando, no ponto mais baixo, a 85 metros do solo.
Qual é a distância entre os dois mastros?

Tal como os mágicos com as cartas, os matemáticos têm uma predilecção especial por balanças para ilustrar os seus conceitos e demonstrar os seus dotes dedutivos.
De entre a miríade de desafios com balanças, escolhi dois que, entre outras coisas, mostram como uma pequena alteração dos dados pode elevar o nível de dificuldade de 8 para 80!

Nível 8

Suponha-se perante um conjunto de 12 (doze) bolas de aspecto idêntico e indistinguíveis ao tacto.
Sabe-se que das doze bolas uma é ligeiramente MAIS PESADA que as restantes onze (tendo estas todas o mesmo peso).
O Desafio é, fazendo apenas 3 pesagens numa balança de pratos, descobrir qual é a bola mais pesada!

Nível 80

Suponhamos uma situação idêntica à anterior.
Temos 12 (doze) bolas com o mesmo aspecto, sendo que uma delas tem um PESO DIFERENTE das restantes, não se sabendo se é mais pesada ou mais leve!
O Desafio é, nas mesmas 3 pesagens numa balança de pratos, descobrir a bola com peso diferente identificando se é mais pesada ou mais leve que as restantes!


SOLUÇÃO

Navegando pela “blogosfera” (não vou fazer publicidade e dizer que foi no blog de Peste) deparei-me recentemente com alguns desafios de lógica lateral que me fizeram recordar a paixão que nutri por esses, e outros, desafios e quebra-cabeças durante os meus tempos de escola. Sendo a joogaadaa um blog pessoal, deve reflectir a personalidade do seu autor, logo, dou início a uma nova secção “DESAFIOS” onde irei propor alguns dos quebra-cabeças que mais gozo me deram a desvendar. Ajudarei todos quantos se debruçarem sobre eles, esperando que sejam tão estimulantes para vocês como o foram para mim.

Dentro de uma sala fechada está, sobre uma mesa, um candeeiro com um só lâmpada. Cá fora, junto à porta fechada, somos confrontados com 3 interruptores voltados para baixo. Sabendo de antemão que a luz está apagada e que apenas um dos interruptores a acende, pretende saber-se qual deles o faz, com as seguintes restrições:

Entre dois mastros de 100 metros de altura estende-se um cabo com 30 metros de comprimento. O cabo não está esticado, ficando, no ponto mais baixo, a 85 metros do solo.
Qual é a distância entre os dois mastros?

Bem, a resposta a esta questão é clara como água e nem requer grande Matemática:

A distância entre os postes é zero!
Pois se o cabo, preso ao topo do poste com 100 metros, tem o seu ponto mais baixo a uma altura de 85 metros, significa que desceu 15 metros e seguidamente voltou a subir outros 15 metros.
Ora, a única forma de uma cabo com 30 metros descer 15 metros e depois subir mais 15 metros é se estiver DOBRADO A MEIO!, donde os POSTES TÊM DE ESTAR ENCOSTADOS UM AO OUTRO!

PS: A dificuldade deste desafio não reside na sua complexidade nem na necessidade de recorrer a elaborados esquemas mentais para sua resolução. A dificuldade está em afastarmo-nos da representação gráfica proposta. (É caso para dizer que ainda há situações em que umas quantas palavras valem mais que mil imagens!)
Apesar da simplicidade de resolução, tenho verificado que quanto maiores forem os conhecimentos matemáticos do indivíduo mais complicado se torna este desafio, pois mais ousadas são as “armas” utilizadas para o atacar.
Será que o mesmo se passou consigo?

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Suponha-se perante um conjunto de 12 (doze) bolas de aspecto idêntico e indistinguíveis ao tacto.
Sabe-se que das doze bolas uma é ligeiramente MAIS PESADA que as restantes onze (tendo estas todas o mesmo peso).
O Desafio é, fazendo apenas 3 pesagens numa balança de pratos, descobrir qual é a bola mais pesada!

Suponhamos uma situação idêntica à anterior.
Temos 12 (doze) bolas com o mesmo aspecto, sendo que uma delas tem um PESO DIFERENTE das restantes, não se sabendo se é mais pesada ou mais leve!
O Desafio é, nas mesmas 3 pesagens numa balança de pratos, descobrir a bola com peso diferente identificando se é mais pesada ou mais leve que as restantes!

Divida as bolas em 3 grupos

1º grupo = 1A, 1B, 1C, 1D
2º grupo = 2A, 2B, 2C, 2D
3º grupo = 3A, 3B, 3C, 3D

a) Pese os grupos 1 e 2.
b) Se houver equilíbrio, o grupo 3 contém a bola mais pesada
c) Então, pese (3A, 3B) com (3C, 3D)
d) Se pender para (3A, 3B), aí estará a bola mais pesada. Então pesar (3A) com (3B) para descobrir qual é.
e) Se em (c) pender para (3C, 3D), aí estará a bola mais pesada. Então pesar (3C) com (3D) para descobrir qual é.

f) Se em (a) a balança pender para o grupo 1, aí estará a bola mais pesada. Então, repetir os passos (c) a (e), desta feita com as bolas do grupo 1.

g) Se em (a) a balança pender para o grupo 2, aí estará a bola mais pesada. Então, repetir os passos (c) a (e), desta feita com as bolas do grupo 2.

Divida as bolas em 3 grupos

1º grupo = 1A, 1B, 1C, 1D
2º grupo = 2A, 2B, 2C, 2D
3º grupo = 3A, 3B, 3C, 3D

a) Pese os grupos 1 e 2.
b) Se houver equilíbrio, o grupo 3 contém a bola diferente.
c) Então, pese: (1A, 1B, 1C) com (3A, 3B, 3C).
d) Se houver equilíbrio, então a bola diferente será 3D.
e) Pese-a com qualquer bola do grupo 1 e descubra se ela é mais leve ou mais pesada que o restante.
f) No item (c), se a balança pender para o grupo 1 significa que há uma bola mais leve no grupo (3A, 3B, 3C).
g) Pese (3A) com (3B) e descubra qual é.
h) Mas, se a balança pender para o grupo (3A, 3B, 3C), então nesse grupo há uma esfera mais pesada.
i) Novamente, pese (3A) com (3B) e descubra qual é.

j) Pese os grupos 1 e 2.
k) Se houver desequilíbrio, o grupo 3 terá apenas bolas de pesos iguais.
l) Se a balança pendeu para o grupo 1, significa que ou há uma bola mais pesada nesse grupo ou há uma bola mais leve no grupo 2 (determinar o lado, 1 ou 2, é importante para a resolução do problema, mas não para o método de resolução; caso a balança pendesse para o grupo 2 as pesagens seriam as mesmas e as conclusões tiradas em conformidade).
m) Então, faça a pesagem:

(1A, 1B, 2A, 2B) com (2C, 3A, 3B, 3C)

n) Se houver equilíbrio, uma das bolas fora dessa pesagem (1C, 1D, 2D) será a diferente.
o) Pese (1C, 2D) / (3A, 3B).
p) Se houver equilíbrio, a bola 1D é diferente e mais pesada.
q) Se a balança pendeu para (1C, 2D), a bola 1C é a diferente e mais pesada. Se a balança pendeu para (3A, 3B) então a bola 2D é a diferente e mais leve.

r) No item (m), se a balança pender para o lado (2C, 3A, 3B, 3C), então uma das bolas 2A ou 2B é a mais leve.
s) Pese (2A) com (3A). Se houver equilíbrio, então 2B é a mais leve. Se a balança perder para 3A, então 2A será a mais leve.
t) No item (m), se a balança pender para o lado (1A, 1B, 2A, 2B), então uma das bolas 1A ou 1B será mais pesada ou a bola 2C será a mais leve.
u) Pese (1A, 2C) com (3A, 3B). Se houver equilíbrio, a bola 1B será a mais pesada. Se a balança pender para o lado (1A, 2C), a bola 1A será a mais pesada. E se a balança pender para o lado (3A, 3B), a bola 2C será a mais leve.

Facíl!

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Dentro de uma sala fechada está, sobre uma mesa, um candeeiro com um só lâmpada. Cá fora, junto à porta fechada, somos confrontados com 3 interruptores voltados para baixo. Sabendo de antemão que a luz está apagada e que apenas um dos interruptores a acende, pretende saber-se qual deles o faz, com as seguintes restrições:

A solução para este desafio seria trivial caso tivesse-mos apenas 2 interruptores.
Porquê?
Porque facilmente estabeleceríamos uma relação biunívoca entre as posições dos interruptores e os estados das lâmpadas. Assim, interruptor para cima corresponderia a ligada e para baixo a desligada. Bastava abrir a porta e confirmar o resultado (se estivesse ligada seria o primeiro, caso contrário seria o segundo)!

Para sermos capazes de resolver o problema com 3 interruptores teremos, obrigatoriamente, de identificar 3 estados da lâmpada. Como? Pela temperatura, por exemplo! Uma lâmpada ligada, para além de luz, produz calor, assim:

1 – Ligar o primeiro interruptor durante alguns minutos!

2 – Desligar o primeiro e ligar o segundo interruptor!

3 – Não tocar no terceiro interruptor!

Agora basta entrar na sala, aproximar-nos da lâmpada (podemos até pôr-lhe a mão pois o candeeiro está em cima de uma mesa) e verificar os resultados:

1 – Se a lâmpada estiver desligada e quente, significa que esteve ligada durante alguns minutos, logo interruptor 1.

2 – Caso esteja ligada, é o interruptor 2, pois é o único que está para cima!

3 – Caso esteja desligada e fria, significa que ainda não foi ligada, logo interruptor 3 (o único que não foi ligado)!


Fácil!